|
|
|
|
|
|
Coefficient de surtension
Dans cette page nous verrons la forme la plus simple que peut prendre la résonance et comment la surtension et la bande passante sont reliées au facteur de qualité du circuit.
Régimes transitoires et permanents
Lorsque l'on soumet un circuit comportant des composants tels que bobines ou condensateurs à une brutale excitation extérieure, le circuit répond par des oscillations amorties dans le temps suivi éventuellement par un régime permanent. Nous ne nous intéresserons ici qu'au régime permanent correspondant à une excitation sinusoïdale dont le traitement est plus aisé notamment si l'on utilise les impédances complexes et qui de plus correspond aux principales applications envisagées dans la suite de l'ouvrage. Nous envisagerons essentiellement la réponse permanente des circuits à une excitation à fréquence fixe. Lorsque nous considèrerons un balayage fréquentiel nous supposerons que ce balayage est suffisamment lent pour que l'on puisse considérer à chaque instant que le système à atteint son état permanent.
La résonance série
En électronique on parle de circuit RLC résonants série et parallèle, la résonance étant obtenue lorsque l'impédance est réelle et extrémale. Ainsi le circuit série présentera une impédance minimale à la fréquence de résonance ω0 alors que le circuit parallèle présentera une impédance maximale à cette même fréquence, on parle alors de circuit bouchon.
|
|
|
|
|
|
Circuits résonants série et parallèle
Toutefois si l'on définit la résonance comme une aptitude du système à produire des oscillations fortement amplifiées pour une ou plusieurs fréquences caractéristiques alors seuls les circuits séries sont concernés, les circuits parallèles se contentant d'être sélectifs.
Coefficient de surtension, facteur de qualité et angle de pertes
Pour le circuit série un calcul élémentaire conduit aux expressions suivantes :
 |
|
En régime sinusoïdal les puissances moyennes dans les bobines et capacitances idéales sont nulles sur une alternance complète car ces composants sont alternativement chargés, déchargés et chargés dans l'autre sens. La puissance réactive est définie comme l'amplitude efficace de ces oscillations d'énergie. Dans les systèmes de distribution de l'énergie électrique on cherche en général à limiter les puissances réactives car ces oscillations d'énergie génèrent des pertes supplémentaires.
Le facteur de qualité est défini à la résonance comme le rapport entre l'énergie oscillant dans le circuit et celle dissipée, il est donc d'autant plus élevé que les pertes sont faibles et l'énergie stockée élevée. Dans les systèmes dont la vocation est d'être oscillants, la puissance réactive est nécessairement importante et l'on cherche alors à obtenir des facteurs de qualité les plus élevés possible afin de limiter les pertes.
Les puissances actives et réactives moyennes sur une demi période sont données par :
Pour le facteur de qualité on obtient à la résonance : 
.
Pratiquement pour le circuit résonant série la résistance
correspond aux pertes existant dans les composants, on parle de résistance
équivalente série (ESR en anglais). On peut aussi définir un facteur de
qualité pour chaque composant à travers les formules suivantes : 
,
.
Pour le facteur de qualité du circuit on obtient : 
.
Le facteur de qualité étant usuellement bien plus grand pour le
condensateur que pour la bobine il en résulte que l'on a :
.
Finalement pour le circuit résonant série on obtient à la résonance les
résultats simples suivants :
,
,
.
Les tensions aux bornes de la bobine et du condensateur sont opposées de plus elles sont en quadrature par rapport à celle de la résistance elle même égale à celle appliquée à l'ensemble du circuit RLC. Le gain en tension est égal au facteur de qualité du circuit.
Un tel montage peut être utilisé comme élévateur de tension si la charge finale a une impédance suffisamment élevée et constante. En effet la charge finale est équivalente à une perte qui peut se ramener à une résistance série qui vient ainsi diminuer le facteur de qualité du circuit ce qui peut induire une baisse importante de la tension de sortie.
Une autre manière classique de tenir compte des pertes est de considérer l'angle obtenu entre la valeur de la phase obtenue aux bornes d'un composant idéal sans pertes et celui obtenu lorsque l'on tient compte de ces dernières que l'on appelle angle de perte.
L'angle entre la phase des pertes (la tension aux bornes de la résistance série équivalente) et celle du composant parfait (l'inductance ou la capacitance idéale) étant de 90°, la formule pour l'angle de perte prend la forme simple suivante :
Bande passante
Si l'on s'intéresse maintenant à la réponse d'un tel circuit lorsque la fréquence excitatrice est différente de la fréquence de résonance on obtient par exemple pour l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur :
Comme nous l'avons déjà énoncé cette amplitude atteint son maximum égal au facteur de qualité à la fréquence de résonance. De part et d'autre de la résonance l'amplitude décroît rapidement. Il est intéressant de noter la "largeur" de la résonance, plus précisément si nous appelons ω+ et ω- les pulsations pour lesquelles l'amplitude est réduite d'un facteur √2 nous obtenons pour des résonances suffisamment intenses (Q>>1) :
Finalement pour la bande passante à -3dB (atténuation d'un facteur √2 en échelle logarithmique) on obtient :
On peut résumer la situation par le graphe normalisé suivant :
Bande passante et facteur de qualité
Les résultats obtenus pour la tension aux bornes de la bobine sont identiques autour de la résonance et pour des facteurs de qualités assez grands. Pour la détermination du facteur de qualité on dispose ainsi de deux méthodes complémentaires : la mesure de la surtension à la résonance lorsque la tension excitatrice est connue et la mesure de la bande passante à -3dB.
Énergies interne et externes
Les résultats obtenus pour le circuit RLC peuvent se généraliser à de nombreux autres cas, par exemple celui des petites oscillations du pendule pesant. Dans tous les cas l'énergie oscille entre deux formes, une potentielle et une cinétique et l'énergie totale se conserve aux pertes près. Pour les applications de transport de l'énergie à distance, il est nécessaire qu'au moins une forme d'énergie soit stockée dans un champ extérieur sous forme électrique ou magnétique.
Dipôles générateurs magnétiques et électriques pour le transfert d'énergie à distance
Suivant les cas on pourra donc parler de transport par induction magnétique ou par influence électrique. Il n'est par ailleurs pas nécessaire que l'énergie stockée de manière interne se limite à la forme électromagnétique duale (électrique-magnétique ou magnétique-électrique). On pourrait aussi concevoir des systèmes ou l'énergie interne serait de même nature que celle externe, par exemple capacitive. L'idée étant que l'on pourrait obtenir des circuits à plus faibles pertes et éventuellement apériodiques. De tels systèmes nécessiteraient des circuits de conversion complexes de type à découpage qui impliquent à nouveau des inductances. Mathématiquement, à la fréquence de travail, l'ensemble condensateur de stockage et convertisseur sont équivalent à une inductance.
Convertisseur et stockage interne de nature différente
Il se peut toutefois que le découpage à une fréquence plus élevée puisse conduire à des composants de taille plus réduite et éventuellement bien que cela paraisse plus improbable à des facteurs de qualité plus élevés que l'inductance équivalente obtenue par un bobinage classique. D'autres technologies de stockage interne peuvent être utilisées, par exemple, à l'aide de matériaux convertisseurs comme des cristaux piézoélectriques, l'énergie interne peut prendre une forme cinétique mécanique. Un générateur asymétrique résonant pour le transfert de l'énergie par couplage électrique prend dans ce cas la forme simple suivante :
Dipôle asymétrique utilisant un résonateur piézoélectrique
Une telle technologie associée au transport par influence est très prometteuse car elle permet d'atteindre des facteurs de qualité et des densités d'énergie bien plus élevés que des bobines.
Composants de stockage réels
Les modèles précédents correspondent à des situations idéalisées, si le stockage externe dans le vide ou les gaz dilués se comporte de manière quasiment idéale, il n'en va pas de même pour les composants permettant le stockage interne et compact de l'énergie. Par exemple de nombreux matériaux ferromagnétiques utilisés pour le stockage de l'énergie magnétique sont facilement saturables, il ne sont donc usuellement pas linéaires. Par ailleurs même si l'on considère des petits signaux et un comportement en amplitude quasi-linéaire, le comportement en fréquence est lui aussi rarement linéaire, les inductances et capacitances n'étant pas indépendantes de la fréquence. Citons par exemple l'effet de peau qui conduit à des fréquences élevées à une expulsion du champ hors du conducteur et ainsi à une variation de l'inductance avec la fréquence. Certains composants réalisés à partir de matériaux piézoélectrique ont un comportement tellement complexe que la réactance peut, pour une faible variation de fréquence, passer d'un mode pratiquement purement inductif à un mode pratiquement purement capacitif.
Si la résonance peut se manifester encore sous la forme d'une surtension les relations simples précédentes, reliant coefficient de surtension au facteur de qualité et a la bande passante, ne seront plus valables et prendront des formes plus complexes. Ces aspects seront développés dans la partie consacrée de manière plus détaillée aux technologies de transport de l'énergie en champs proches.
Développer davantage le formalisme et les concepts
