Circuits résonants couplés
La notion de circuits accordés et classique dans le domaine des radiofréquences aussi bien pour le traitement du signal que pour la transmission. Nous allons retrouver dans la suite l'effet à la fois sélectif et amplificateur associé à cette double résonance, nous nous intéresserons spécifiquement à l'aspect transfert direct de l'énergie à distance en champ proche, le lecteur trouvera dans de nombreux ouvrages spécialisés des analyses plus complètes concernant la sélectivité de tel circuits qui furent longtemps largement utilisés dans le traitement du signal RF mais que l'on remplace de nos jours par des structures piézoélectriques tels que résonateurs et filtres en peigne plus compacts et facile à mettre en oeuvre et dont on peut moduler à volonté et avec une grande précision la réponse.
Les différentes possibilités
D'une manière générale on peut imaginer trois types de couplage à distance non rayonnant dans le cadre des circuits électriques :
Le couplage galvanique
Le couplage par champ magnétique
Le couplage par champ électrique
Ces possibilités peuvent être représentées de la manière suivante :
Représentation schématique générale des différents types de couplage à distance possibles
Le couplage galvanique ou encore résistif correspond à un partage direct d'une partie des courants circulants dans chaque circuit, il n'est possible que si le milieu séparant les deux circuits est au moins partiellement résistif. Dans les milieux diélectriques comme le vide ou les gaz dilués à basse température une telle conduction n'existe pas, il y a isolement galvanique entre les deux circuits. Dans de tels cas seuls les couplages électriques et magnétiques sont envisageables. Dans la suite les résistances série équivalentes ne seront là que pour tenir compte des pertes et ne seront en aucune manière couplées. Par ailleurs bien que l'on puisse imaginer des situations de couplage mixte, afin de simplifier l'approche nous étudierons séparément les cas de couplage électrique et magnétique dans les situations les plus simples qui nous permettrons d'introduire les paramètres et concepts importants, une analyse plus détaillée sera proposée dans les pages concernant plus spécifiquement les technologies de transport de l'énergie en champs proches.
Nous nous restreindrons dans cette approche pédagogique à l'étude des systèmes à deux ports qui, comme nous l'avons vu dans la page consacrée aux coefficients de couplage, bien qu'ils ne permettent pas de caractériser tous les aspects des dispositifs dans le cas du couplage électrique, permettent dans tous les cas de quantifier le transfert de l'énergie.
Le couplage magnétique
Le schéma électrique le plus général concernant deux circuits résonants couplés par le champ magnétique extérieur associé aux inductances est le suivant :
Schéma équivalent le plus général pour l'étude du couplage magnétique entre circuits résonants
On peut dans un premier temps considérer le système sous la forme d'un quadripôle sans tenir compte de la charge finale. Pour simplifier les expressions on utilise les notations suivantes :
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Et : |
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Notons que l'on suppose implicitement que les pertes sont associées seulement aux inductances. Un calcul élémentaire conduit à la forme matricielle suivante :
Le
déterminant de cette matrice est : 
Il est assez facile de montrer que ce déterminant ne s'annule jamais et ainsi que la matrice peut toujours être inversée. Par ailleurs cette matrice est très similaire à celle du couplage magnétique, elle n'en diffère que par les termes diagonaux entre parenthèses. Il est ainsi tentant de définir un coefficient de couplage généralisé par la formule :
En utilisant la définition du coefficient de couplage magnétique on obtient :
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Si on pose : |
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On obtient : |
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Le couplage originel est donc multiplié par un gain de chaque côté de la liaison. Les valeurs optimales sont obtenues pour :
x = y = 1
C'est à dire lorsque les deux circuits ont la même fréquence de résonance et sont accordés sur cette dernière, on a alors :
Et finalement :
L'énergie transférée étant proportionnelle au carré du coefficient de couplage, tout se passe donc comme si chaque résonance, celle de la charge et celle du générateur, amplifiait le transfert d'énergie dans un facteur égal au facteur de qualité du circuit correspondant.
Le couplage électrique
Le schéma électrique est le suivant :
Schéma équivalent le plus général pour l'étude du transfert d'énergie
Pour étudier rationnellement un tel circuit on définit les quantités suivantes :
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Et : |
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D étant le déterminant de la matrice de couplage capacitif. Après quelques calculs simples mais plus laborieux que dans le cas du couplage magnétique car il faut inverser la matrice de couplage capacitif pour obtenir les tensions VG et VL en fonction des intensités Ii et Io, on peut regrouper les résultats sous la forme matricielle suivante :
On peut démontrer similairement au cas du couplage magnétique que le déterminant de cette matrice n'est jamais nul, elle peut donc toujours être inversée.
A partir de la similitude de cette matrice avec celle du couplage électrique on peut par analogie définir un coefficient de couplage généralisé :
Après réintroduction du couplage coefficient de couplage capacitif originel on obtient :
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Si on pose : |
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On obtient : |
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Le couplage originel est donc multiplié par un gain de chaque côté de la liaison. Les valeurs optimales sont obtenues pour :
Lorsque le couplage est assez faible et les facteurs de qualité élevés, et lorsque les deux circuits sont accordés sur la même fréquence de résonance, on a alors :
Et finalement :
Conclusion
Les couplage électriques et magnétiques conduisent à des résultats très similaires bien que les calculs soient assez différents. Les différences s'expliquent par le fait que les deux circuits ne sont pas totalement duaux. Ainsi dans le cas du couplage capacitif, pour la partie centrale du circuit les rôles des tensions et intensité sont bien inversés, mais par contre les branches externes gardent la même structure. Ainsi dans les deux cas les pertes sont considérées en série et associées aux inductances alors que dans un circuit parfaitement dual elles devraient être associées aux capacitances et être placées en parallèle avec ces dernières.
Dans les deux cas nous avons vu en introduisant la notion de couplage généralisé que la résonance permet d'obtenir à une fréquence bien définie et lorsque les deux circuits sont accordés sur cette même fréquence une augmentation considérable du facteur de couplage entre les deux circuits, chaque circuit résonant jouant séparément un rôle amplificateur du couplage. L'interprétation directe qu'il est possible de donner à cette double amplification, lorsque les circuits sont suffisamment distants, c'est à dire dans le cas ou le lien physique originel qu'il soit électrique ou magnétique est suffisamment faible, est que la résonance permet à chaque circuit de mieux se coupler au champ extérieur qui l'entoure.
Il faut toutefois se garder de donner trop de portée à la notion de couplage généralisé, en effet, telle que définie ici, cette grandeur est assez éloignée de celle d'un coefficient de couplage classique, c'est en effet un nombre complexe et son amplitude n'est pas nécessairement inférieure à l'unité. De plus l'analyse précédente est très partielle puisqu'elle ne tient pas compte de la valeur de la charge finale. Nous verrons que le comportement de tels circuits chargés est assez complexe car les notions d'accord fréquentiel et d'adaptation d'impédance sont généralement imbriquées et dépendantes de la valeur du couplage physique et des valeurs relatives des facteurs de qualités lorsqu'ils sont asymétriques.
La grandeur réelle k²QLQG (ou sa racine), fait intervenir d'une part le coefficient de couplage physique qui ne dépend que des formes et distances des électrodes ou bobines et de la nature du milieu diélectrique ou magnétique qui sépare les circuits et est donc indépendant de la technologie interne des générateurs et charges et d'autre part les facteurs de qualité des circuits qui sont de leurs côtés entièrement liés aux technologies internes. Elle prend donc la forme d'un simple produit entre le couplage physique et un facteur amplificateur purement technologique que l'on pourrait aussi appeler facteur de mérite. Cette grandeur mixte est omniprésente dans l'étude des circuits résonants couplés.