L'adaptation d'impédance
Une notion intuitive
L'idée qu'une adaptation est nécessaire pour que deux parties de même nature puissent fonctionner ensemble correctement est assez simple à concevoir, elle ne concerne d'ailleurs pas que la physique. En ce qui concerne les transferts d'énergie elle découle du fait que en mécanique la puissance est égale au produit de la force par la vitesse, en admettant que dans toutes les situations pratiques les forces et vitesses soient naturellement limitées et ne peuvent croître indéfiniment, il en résulte que si l'une des deux grandeurs tend vers zéro alors le produit, à cause justement de ces limites naturelles, tendra nécessairement vers zéro. Si l'on considère maintenant le rapport de ces deux grandeurs s'il devient trop grand ou trop petit, c'est à dire si l'une des deux grandeur tend vers zéro, la puissance impliquée dans le processus tendra elle aussi vers zéro, il existera donc au moins une valeur de ce rapport qui optimisera les puissance. Prenons un exemple pratique simple, considérons un vélo possédant un grand nombre de rapports possibles entre la vitesse de rotation du pédalier et celle de la roue, si le cycliste qui s'attaque à une côte choisit un rapport vraiment trop grand, il va atteindre sa vitesse limite de pédalage tout en avançant très lentement, si inversement le rapport est vraiment trop petit, alors il atteindra sa force maximale et le résultat ne sera guère concluant non plus. Il est ainsi évident qu'en fonction du terrain (et de sa forme physique) il y aura toujours un rapport qui optimisera sa performance. Dans tous les systèmes physique, pas seulement en mécanique, dans la mesure où la puissance est obtenue comme une produit de deux grandeurs caractéristiques, l'impédance sera définie comme le rapport de ces deux grandeurs et il existera toujours au moins une valeur de cette dernière qui optimisera la puissance transférée.
Dans le cadre des circuits, la tension se substituant à la force et l'intensité à la vitesse, l'impédance électrique est définie comme le rapport entre tension et intensité. Dans la mesure où les dispositifs possèdent des systèmes de limitation non destructifs, c'est à dire des systèmes limitant la tension et l'intensité à des valeurs qui ne provoquent pas, quelle que soit l'impédance de la branche qui referme le circuit, d'effets irréversibles dans les différents composants, alors il existera toujours une valeur de l'impédance qui optimisera le transfert de puissance entre la partie motrice qui fournit l'énergie et la branche réceptrice qui l'utilise.
Nous verrons dans la suite que dans de nombreuses situations pratiques on cherche à optimiser non pas la puissance transférée mais le rendement du système (c'est à dire l'énergie totale transférée pour une énergie injectée dans le système donnée). Si nous reprenons l'exemple du cycliste, il peut vouloir aller le plus vite possible dans les premiers mètres (ou les derniers) ou grimper le plus haut possible sans devoir s'arrêter, il est évident que cela conduira à des choix de rapports très différents. Nous verrons que dans certaines situations de couplage l'impédance qui optimise le rendement est identique à celle qui optimise la puissance mais que dans le cas général les deux optimisations sont conflictuelles.
Dans cette page nous commencerons par évoquer l'adaptation d'impédance dans le cadre de la propagation qui permet de visualiser les choses clairement puis nous généraliserons au cadre des circuits. L'optimisation du rendement dans le cadre des circuits couplés sera abordée dans la dernière partie qui concernera aussi les transferts d'énergie en champ proche et notamment le délicat problème de la mesure.
Adaptation d'impédance dans le cadre de la propagation
Les petites déformations des milieux élastique ou fluides conduisent à la propagation d'ondes. La houle, les tremblements de terre, le tonnerre sont des exemples d'ondes naturelles. Dans tous les milieux on peut définir l'impédance comme le rapport entre la force de rappel qui tend à ramener le milieu vers son état d'équilibre et la déformation qu'il subit. La force prenant souvent la forme d'une pression et la déformation celle d'un angle d'une longueur ou d'une vitesse. Suivant les milieux les déformations peuvent prendre de nombreuses formes telles que torsions, cisaillements, compressions, qui peuvent conduire à des ondes de natures différentes se propageant par exemple sans interférer dans le même milieu et à des vitesses différentes. L'expérience courante nous montre que les ondes sont partiellement réfléchies lorsqu'elles changent de milieu, par exemple à l'interface entre un cristal et un liquide. Le phénomène se produit dans les deux sens, l'onde dans le cristal est réfléchie et repart vers l'intérieur du cristal et celle se propageant dans le liquide en fait de même.
Les ondes sont réfléchies de chaque côté d'une forte discontinuité d'impédance
Quantitativement on montre que la quantité réfléchie dépend de la variation d'impédance à l'interface, plus la variation est grande plus la proportion réfléchie est grande. Inversement l'onde peut se propager sans réflexion si l'impédance pour le type d'onde considéré est identique dans les deux milieux qui peuvent cependant être de natures différentes. Par exemple dans un échographe à ultrasons pour assurer la propagation entre la source acoustique solide et les fluides corporels il faut d'une part adapter l'impédance du générateur à celle des tissus biologiques et d'autre part éviter qu'une couche d'air ne s'intercale entre les deux milieux, pour cela on utilise un gel qui a lui aussi la même impédance que les deux autres milieux. Il faut aussi noter que les longueurs d'ondes mises en oeuvre sont dans le domaine millimétrique pour permettre une résolution suffisante de l'image, il y a donc bien propagation possible dans les différents milieux.
Extension au cadre des circuits
Dans un cursus scolaire normal, on commence par étudier les oscillateurs mécaniques ou électriques parfaits afin d'introduire certaines notions comme la conservation de l'énergie totale et la résonance. Dans un deuxième temps on introduit la notion de couplage entre oscillateurs, les circuits accordés étant abordés seulement par quelques étudiants dans des filières spécialisées. Finalement on montre que si l'on dispose d'oscillateurs couplés identiques (qui résonnent donc à la même fréquence) avec des facteurs de qualité élevés (des pertes faibles) et alignés on obtient en sollicitant une des extrémités un mécanisme de propagation.
Pendules de torsions couplés ou systèmes masses ressorts couplés
Une onde est ainsi une oscillation qui se propage d'un élément à l'autre. Il est toutefois important de bien faire la distinction entre oscillations et ondes. En effet même si les formulations mathématiques sont similaires, les situations physiques et les comportements sont très différents. Formellement on peut définir les ondes comme des solutions non nulles d'une équation de propagation, alors que des oscillations peuvent être conçues dans un cadre beaucoup plus général. Le cas des milieux bornés conduit à envisager des oscillations globales que l'on appelle improprement ondes stationnaires, en effet dans de tels cas il n'y a plus de propagation à proprement parler.
Propagation et mode propre
La propagation est ainsi un aspect particulier émergeant qui apparaît lorsque l'on considère le couplage "en cascade" entre multiples circuits identiques. On conçoit que les considérations concernant la manière dont l'énergie se transfère d'un milieu à un autre auront une contrepartie directe dans le cas de deux circuits couplés. Ainsi même si l'aspect "propagation" est absent a un tel niveau élémentaire (il faut de nombreux oscillateurs couplés identiques pour que le propagation puisse se manifester), le transfert optimum de l'énergie d'un oscillateur a l'autre ne se fera que dans certains cas particuliers. Inversement certaines considérations, comme l'impédance optimale pour le rendement, seront propres aux circuits couplés élémentaires et n'auront pas de contrepartie au niveau de la propagation.
Les différents aspects de l'adaptation d'impédance
L'aspect le plus simple pour aborder le mécanisme de l'adaptation d'impédance en électricité est de considérer pour commencer un seul circuit reliant un générateur réel à une charge distante. Nous avons vu que dans le cadre des circuits on peut ramener la résistance d'un fil réel à une résistance localisée. A la résistance du fil peut se rajouter la résistance interne du générateur, cette dernière peut être soit un effet parasite que l'on a cherché à réduire le plus possible soit une valeur voulue pour protéger le générateur en cas de court-circuit. Dans tous les cas le générateur réel peut se ramener à une source de tension en série avec une résistance. La charge qui reçoit l'énergie peut aussi se représenter par une résistance équivalente qui dissipe autant d'énergie que la charge consomme. Finalement nous obtenons le circuit équivalent suivant :
Schéma le plus simple pour aborder le thème
Il est évident que si la résistance de la charge est nulle la puissance dans cette dernière est aussi nulle car la tension à ses bornes est nulle, inversement si cette impédance est infinie (circuit ouvert) c'est le courant qui est nul conduisant à une puissance tout aussi nulle, il est facile de démontrer que la puissance maximale est obtenue pour R = RG . Dans un tel cas les puissances dissipées dans les deux résistances sont identiques et le rendement est de 50%.
Lorsque les circuits comportent des impédances qui ont une composante réactive, le problème de l'adaptation implique cette fois à la fois la résistance équivalente de la charge mais aussi la fréquence. On peut alors considérer plusieurs problèmes, soit considérer une fréquence fixe et chercher la résistance optimale, inversement on peut fixer la résistance et chercher la fréquence optimale ou mieux encore on peut chercher l'optimum des optima et trouver la résistance et la fréquence qui optimisent le transfert de puissance. Il peut d'ailleurs exister plusieurs maxima relatif mais il y forcement un optimum absolu pouvant correspondre à plusieurs conditions optimales différentes. Le problème peut toutefois être résolu simplement si l'on ne considère comme dans le cas précédent qu'un seul circuit mais des impédances complexes. Les calculs seront proposés ultérieurement mais le résultat final est assez simple pour être exposé dès maintenant. La puissance maximale est obtenue lorsque la résistance de la charge est égale à celle du générateur et la fréquence telle que les deux réactances soient opposées. Il en résulte que le générateur voit à ses bornes une résistance pure et n'est traversé par aucune puissance réactive, le circuit fonctionne donc à la résonance.
La puissance optimale est obtenue à la résonance pour une résistance de charge égale à celle du générateur mais qu'en est-il du rendement optimal ?
Dans les situations précédentes nous ne considérions qu'un seul circuit, prenons maintenant le cas de deux circuits couplés. Considérons arbitrairement le circuit en "T" équivalent suivant :
Schéma en "T" pour représenter un couplage
Il est assez évident que si RM est infini on retrouve la situation précédente du couplage total alors que si RM est nulle les deux circuits deviennent indépendants et le couplage est nul. Le raisonnement en ce qui concerne la puissance est le même, il conduit simplement à une valeur optimale dont l'expression est un peu plus complexe. La différence essentielle est que cette fois il existera une valeur optimale de la résistance, différente de la précédente qui optimisera le rendement. Pour s'en convaincre (le lecteur intéressé trouvera la démonstration dans la page suivante), il suffit de noter que si R est infinie la puissance dans la charge tend toujours vers zéro mais il y a cette fois une puissance non nulle dissipée dans les résistances en série RG et RM le rendement tend ainsi vers zéro.
Un diagramme révélateur
Propagation et champ proches sont deux domaines aux caractéristiques très différentes mais ont en commun la notion d'adaptation d'impédance. Dans le cas de la propagation EM le milieu lorsqu'il est isotrope admet une impédance caractéristique donnée par :
Dans le cas du vide et des gaz usuels, l'impédance est indépendante de la fréquence et on obtient : Z = 377 Ω.
Pour les systèmes à couplages capacitifs toutes les impédances deviennent très grandes quand la fréquence tend vers zéro, c'est donc aussi le cas pour les impédances optimales pour le transfert de puissance ou le rendement. Ainsi même si les coefficients capacitifs diffèrent suivant les cas, on peut écrire l'expression générale suivante :
Pour les systèmes à couplage inductif au contraire les impédances croissent avec la fréquence et l'on peut écrire :
Graphique symbolique caractérisant en termes d'impédances la dualité unification/bifurcation EM
Ainsi on retrouve en allant vers les fréquences croissantes, l'idée d'unification électromagnétique alors que si l'on regarde le graphique dans le sens des fréquences décroissantes on voit clairement apparaître la bifurcation électrique, magnétique.
Développer davantage le formalisme et les concepts
Non merci, notions suivantes SVP